线性代数示例

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

解题步骤 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

解题步骤 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

解题步骤 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

解题步骤 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

解题步骤 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2

计算 $| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

乘以 $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.4

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3

计算 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ 。

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解题步骤 3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2

乘以 $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 3.2.2.4

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

解题步骤 4

计算 $| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ 。

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

乘以 $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

解题步骤 4.2.1.4

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

解题步骤 4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

解题步骤 4.2.3

乘以 $- - \frac{x}{6}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\frac{x}{6}$ 乘以 $1$ 。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5

化简行列式。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.4

运用分配律。

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.5

乘以 $\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ 。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{x}{6}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.5.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.6

乘以 $\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{36}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.6.2

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

解题步骤 5.1.7

运用分配律。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

解题步骤 5.1.8

乘以 $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ 。

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解题步骤 5.1.8.1

将 $\frac{1}{36}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $36$ 乘以 $6$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

解题步骤 5.1.9

乘以 $- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

将 $\frac{x}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

解题步骤 5.1.9.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

解题步骤 5.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

解题步骤 5.4

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

解题步骤 5.5

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

约去 $- 3$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.1.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6.1.2.2

约去公因数。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6.1.2.3

重写表达式。

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6.2

将负号移到分数的前面。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

解题步骤 5.6.3

约去 $- 2$ 和 $216$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

解题步骤 5.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.3.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

解题步骤 5.6.3.2.2

约去公因数。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

解题步骤 5.6.3.2.3

重写表达式。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

解题步骤 5.6.4

将负号移到分数的前面。

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$

线性代数 示例

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